Sau đây là một ví dụ đơn giản về tính toán hạt nhân của một ma trận (xem phần dưới về các phương pháp tốt hơn cho các tính toán phức tạp). Ví dụ minh họa cũng liên hệ đến không gian hàng và quan hệ của nó với hạt nhân.

Xét ma trận

A = [ 2 3 5 − 4 2 3 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}

Hạt nhân của ma trận này chứa các vectơ (x, y, z) ∈ R3 sao cho

[ 2 3 5 − 4 2 3 ] [ x y z ] = [ 0 0 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}

có thể biểu diễn phương trình trên dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên hệ x, y, và z:

2 x + 3 y + 5 z = 0 , − 4 x + 2 y + 3 z = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}

Hệ phương trình trên cũng có thể viết thành dạng ma trận như sau:

[ 2 3 5 0 − 4 2 3 0 ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}

Bằng phép khử Gauss-Jordan, ma trận có thể được rút gọn thành:

[ 1 0 1 / 16 0 0 1 13 / 8 0 ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}

Viết lại ma trận dưới dạng phương trình ta được:

x = − 1 16 z y = − 13 8 z . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}

Các phần tử của hạt nhân có thể được biểu diễn dưới dạng tham số như sau:

[ x y z ] = c [ − 1 / 16 − 13 / 8 1 ] ( where  c ∈ R ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}

Vì c là một biến tự do nhận giá trị trên mọi số thực, ta cũng có thể biểu diễn như sau:

[ x y z ] = c [ − 1 − 26 16 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}

Hạt nhân của A chính là tập nghiệm của hệ phương trình trên (trong trường hợp này, là đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong R3). Ở đây, vì vectơ (−1,−26,16)T lập một cơ sở cho hạt nhân của A nên số vô hiệu của A bằng 1.

Các tích vô hướng sau là bằng 0:

[ 2 3 5 ] [ − 1 − 26 16 ] = 0 a n d [ − 4 2 3 ] [ − 1 − 26 16 ] = 0 , {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,} }

cho thấy các vectơ trong hạt nhân của A trực giao với từng vectơ cột của A.

Hai vectơ hàng trong A (độc lập tuyến tính) span không gian hàng của A — một mặt phẳng trực giao với vectơ (−1,−26,16)T.

Với ma trận A có hạng 2, số vô hiệu 1 và kích thước bằng 3 của A, ta có một minh họa của định lý hạng-số vô hiệu.